produit vectoriel

Propriétés

$\vec{v}, \vec{w} ⊥ \vec{v} \times \vec{w}$

$\vec{v} ∥ \vec{w} ⟹ \vec{v} \times \vec{w} = \vec{0}$

Par définition, $\vec{w} = k \vec{v}$ pour un $k \in R$ .

\begin{aligned} \vec{v} \times \vec{w} & = - \vec{w} \times \vec{v} \\ \vec{v} \times (k \vec{v}) & = - k \vec{v} \times \vec{v} \\ 2 k (\vec{v} \times \vec{v}) & = \vec{0} \\ \vec{w} \times \vec{v} & = \vec{0} \end{aligned}

Anticommutativité

$\vec{v} \times \vec{w} = - \vec{w} \times \vec{v}$

Distributivité

$\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}$

Associativité avec multiple scalaire

$(k \vec{u}) \times \vec{w} = k (\vec{u} \times \vec{w}) = \vec{u} (k \vec{v})$

Formule de norme

$| | \vec{v} \times \vec{w} | |^{2} = | | \vec{v} | |^{2} | | \vec{w} | |^{2} - (\vec{v} \cdot \vec{w})^{2}$

$| | \vec{v} \times \vec{w} | | = | | \vec{v} | | | | \vec{w} | | \sin θ$

\begin{aligned} | | \vec{v} \times \vec{w} | |^{2} & = | | \vec{v} | |^{2} | | \vec{w} | |^{2} - (\vec{v} \cdot \vec{w})^{2} \\ = | | \vec{v} | |^{2} | | \vec{w} | |^{2} - (| | \vec{v} | | | | \vec{w} | | \cos θ)^{2} \\ = | \vec{v} | |^{2} | | \vec{w} | |^{2} (1 - \cos^{2} θ) \\ = | | \vec{v} | |^{2} | | \vec{w} | |^{2} \sin^{2} θ \\ | | \vec{v} \times \vec{w} | | & = | | \vec{v} | | | | \vec{w} | | \sin θ \end{aligned}

Exemples

Soit $\vec{v} =< 1, 2, 4 >, \vec{w} =< 3, 5, - 6 >$ .

Calculer $\vec{v} \times \vec{w}$ .

\vec{v} x \vec{w} = [\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ - 6 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 12 - 20 \\ 12 + 6 \\ 5 - 6 \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 32 \\ 18 \\ - 1 \end{matrix}]

Calculer $\vec{w} \times \vec{v}$ .

\vec{w} \times \vec{v} = [\begin{matrix} 3 \\ 5 \\ - 6 \end{matrix}] \times [\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 20 + 12 \\ - 6 - 12 \\ 6 - 5 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 32 \\ - 18 \\ 1 \end{matrix}]

Calculer les angles entre $\vec{v}$ et $\vec{v} \times \vec{w}$ et $\vec{w}$ et $\vec{v} \times \vec{w}$ .

On sait que $θ = \arccos \frac{\vec{v} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})}{| | \vec{v} | | | | \vec{v} \times \vec{w} | |}$ .

\begin{aligned} \vec{v} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) & =< 1, 2, 4 > \cdot < - 32, 18, - 1 > \\ = 0 \\ ⟹ θ & = \arccos 0 \\ = 90 ° \end{aligned}

Similairement, l'angle entre $\vec{w}$ et $\vec{v} \times \vec{w}$ est $90 °$ .

Soit les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $\vec{u} \times \vec{v} = ⟨ 1, 7, - 13 ⟩$ , évaluer $(- 4 \vec{u} - 2 \vec{v}) \times (4 \vec{u} + 2 \vec{v})$ .

\begin{aligned} (- 4 \vec{u} - 2 \vec{v}) \times (4 \vec{u} + 2 \vec{v}) & = \underset{\vec{0}}{\underset{⏟}{- 16 \vec{u} \times \vec{u}}} - 8 \vec{u} \times \vec{v} - 8 \vec{v} \times \vec{u} - \underset{\vec{0}}{\underset{⏟}{4 \vec{v} \times \vec{v}}} \\ = - 8 \vec{u} \times \vec{v} + 8 \vec{u} \times \vec{v} \\ = \vec{0} \end{aligned}

Trouver l'aire du triangle dont les sommets sont les points $A = (2, 1, - 3), B = (4, 2, - 3), C = (8, 1, 2)$ .

\begin{aligned} \vec{A B} & = \vec{O B} - \vec{O A} & = ⟨ 2, 1, 0 ⟩ \\ \vec{A C} & = \vec{O C} - \vec{O A} & = ⟨ 6, 0, 5 ⟩ \\ \vec{A B} \times \vec{A C} & = [\begin{array}{c} 1 \cdot 5 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 6 - 5 \cdot 2 \\ 2 \cdot 0 - 6 \cdot 1 \end{array}] & = [\begin{array}{c} 5 \\ - 10 \\ - 6 \end{array}] \\ \frac{| | \vec{A B} \times \vec{A C} | |}{2} & = \frac{\sqrt{5^{2} + (- 10)^{2} + (- 6)^{2}}}{2} & = \frac{\sqrt{161}}{2} \end{aligned}

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Ajitani Hifumi

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